高中数学导数框架图

博客会员     2022-08-18 03:06:03     12 次浏览
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。
从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分 [2]  。

一元微分

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折叠定义

设函数
 在某区间内有定义,
 及
 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(
 + Δx) – f(
 )可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点
 是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商 [3]  。

折叠几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段 [3]  。

积分相关

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(1)定积分和不定积分
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,定积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数。
其中:
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。
定积分和不定积分的定义迥然不同,定积分是求图形的面积,即是求微元元素的累加和,而不定积分则是求其原函数,而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系(详见牛顿-莱布尼茨公式)。
(2)常微分方程偏微分方程
含自变量、未知函数和它的微商(或偏微商)的方程称为常(或偏)微分方程。未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程。未知函数为多元函,从而出现多元函数的偏导数的方程,称为偏微分方程。

极限理论

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十七世纪以来,微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题,取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前,在微积分的发展过程中,其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中,包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力,但都没有成功地解决这个问题。
整个十八世纪,微积分的基础是混乱和不清楚的,许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚,因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决,柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性,这就是极限理论的创立。极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上,它也为20世纪数学的发展奠定了基础。
注:在中世纪(14—17世纪)欧洲数学大发展的时期,我国基本处于停滞状态(明、清时期)。所以,我国的数学家与微积分无缘 [4]  。

常见符号

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微分符号,
 ,
 等,系由莱布尼茨首先使用。其中的"
 "源自拉丁语中“差”(Differentia)的第一个字母。积分符号“
 ”亦由莱布尼茨所创,它是拉丁语“总和”(Summa)的第一个字母s的伸长(和
 有相同的意义), “
 ” 为围道积分 [2] 。

微积分历史

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从微积分成为一门学科来说,是在17世纪,但是积分的思想早在古代就已经产生了。

积分学早期史

公元前7世纪,古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、
图1莱布尼茨图1莱布尼茨
体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。公元前3世纪,古希腊的数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽,他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想,例如三国时期的刘徽,他对积分学的思想主要有两点:割圆术及求体积问题的设想 [5]  。

微积分产生

到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微
图2 牛顿-莱布尼茨公式图2 牛顿-莱布尼茨公式
积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了一个基本概念,在那以后的二百年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心位置,这就是函数——或变量间关系——的概念。紧接着函数概念的采用,产生了微积分,它是继欧几里得几何之后,全部数学中的一个最大的创造。围绕着解决上述四个核心的科学问题,微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。在此,我们主要来介绍
图册 微积分相关任务及公式
图册 微积分相关任务及公式(5张)
 这两位大师的工作[5]
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